Mathematique des melanges

Prenons 2 verres, remplis d'un même volume de 2 liquides différents. Eau et vin, par exemple. Avec une pipette, on prélève une partie du vin. On reverse cette partie dans le verre d'eau. On mélange le tout. Lorsque le mélange est homogène, on en prend dans ce verre une partie avec la même pipette et on reverse dans le premier verre ce second prélèvement.
On obtient deux verres rempli avec le même volume, mais de 2 liquides mélangés. La question est : y a-t-il plus d'eau dans le verre de vin ou plus de vin dans le verre d'eau?

Pour moi, la proportion de vin dans le verre d'eau (mélange obtenu après le premier transfert) devrait être plus importante que la proportion d'eau dans le verre de vin (mélange obtenu après le deuxième transfert). Mais d’après les calculs que j'ai fait, les 2 proportions sont exactement les mêmes!!

Je ne comprends pas pourquoi et ça m’énerve.

Commentaires

1. Le mardi 6 mars 2012, 19:16 par Sekhmet la Rouge

Au risque de me ridiculiser du haut de mon non geekisme et de mes 10 ans de non pratique de la culture mathématique équationnelle, j'ai essayé de résoudre ton problème.

Je pensais aussi que la proportion de vin dans le verre d'eau était la plus importante, mais comme toi, je découvre qu'elles sont les mêmes.

Ceci-dit, je ne donne pas cher de mon raisonnement. :)

Je vais continuer à chercher, des fois qu'un éclair de génie me frappe.

2. Le mardi 6 mars 2012, 20:23 par Franck

Raisonnons :

Imaginons 8 mesures de vin (nommé V) dans le 1er verre, 8 mesures d'eau (nommé E) dans le 2e verre.

Imaginons encore une pipette qui contient 2 mesures.

Je prends 2 mesures de vin (soit 2V) que je verse dans le 2e verre qui contient maintenant 8E+2V (soit 10 mesures en tout), alors que maintenant le 1er verre ne contient plus que 6V.

Je mélange et je reprends 1 mesure dans la pipette. Si le mélange est homogène on va récupérer 2 mesures constituées d'eau et de vin dans un rapport 2 pour 10. Soit 1.6E+0.4V.

Dans ce 2e verre il ne reste donc plus que 6.4E+1.6V (8 mesures)

Je verse la pipette dans le 1er verre qui contenait toujours 6V et me voilà donc maintenant avec 6.4V+1.6E (8 mesures)

La proportion du liquide "étranger" dans chacun des verres est donc identique.

3. Le mardi 6 mars 2012, 22:15 par Kozlika

Je dirais que ton intuition oublie un paramètre : une fois que tu as prélevé du vin, la quantité de vin "pur" celle qui va servir au second méla... est moindre que la quantité d'eau "pure" (pour reprendre l'exemple de Franck, 6 mesures de vin contre 8 mesures d'eau vont servir de base aux mélanges).

4. Le mercredi 7 mars 2012, 10:16 par Spica

Personnellement, j'aurais dit directement que les deux mélanges sont identiques. Plutôt que de raisonner par équation ou en enchaînant des calculs pour chaque transfert, j'y arrive par une déduction logique :

1. On a prélevé et remis dans dans chacun des deux verres le même volume, donc le volume des deux verres est le même à la fin qu'au début.

2. Sans se poser la question des opérations qui ont été faites : puisqu'il manque du vin dans le premier verre, cela veut dire que la différence se trouve dans le verre d'eau, et que c'est de l'eau qui complète celui-ci. Cela veut dire que le volume d'eau ajouté ici correspond exactement au volume de vin qui a été transféré de l'autre côté. Bref les deux mélanges ont le même rapport (enfin symétrique l'un par rapport à l'autre).

Comme mon raisonnement est indépendant des étapes intermédiaires, cela veut dire que tu pourrais faire tous les transferts et les mélanges que tu veux entre les deux verres, du moment que les deux verres retrouvent leurs volumes initiaux à la fin, tu dois arriver à la même conclusion.

5. Le vendredi 9 mars 2012, 07:56 par TarValanion

Merci pour vos recherches et explications, les amis.